En estadística la
esperanza matemática (también llamada
esperanza,
valor esperado,
media poblacional o
media) de una variable aleatoria
, es el número
![\mathbb{E}[X]](https://upload.wikimedia.org/math/2/7/f/27f660bfd70f4a5d381949da7bcc5a85.png)
o
![\text{E}[X]](https://upload.wikimedia.org/math/e/9/1/e91f7ae80f1b31bc8de63ce1217358a4.png)
que formaliza la idea de
valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo
y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.
Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:
que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".
Nota: El primer paréntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de 1€, por eso es negativo el valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.
Ejemplos
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable
Variables aleatorias discretas
Variable aleatoria discreta, distribución de frecuencias, distribución de probabilidad y gráficas de ambas distribuciones de variables aleatorias discretas.
ariables aleatorias discretas ejemplos
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros.
Ejemplos de variables aleatorias discretas
Número de caras obtenidas al lanzar tres monedas: 0, 1, 2, 3.
Suma de las caras superiores obtenidas al lanzar dos dados: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Distribución de probabilidad de variables discretas
Una variable aleatoria discreta es una modelización teórica de una característica X de tipo discreto, en la que nos quedamos con lo esencial que se obtendría en un proceso de muestreo.
Recordemos que una característica X es de tipo discreto cuando puede
tomar una serie de valores claramente separados x1, ..., xk. En una muestra
concreta de tamaño n, cada uno de estos valores aparece n1, ..., nk veces
(frecuencias absolutas). La frecuencia relativa de cada valor es fi = ni/n.
Ejercicio resuelto variable aleatoria discreta
Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:
| Cara superior | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| Número de veces | 40 | 39 | 42 | 38 | 42 | 39 |
|---|
1. Tabla de distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos
Ejemplos
1. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza
| x | p i | x · p i | x 2· pi |
|---|
| 2 | 1/36 | 2/36 | 4/36 |
| 3 | 2/36 | 6/36 | 18/36 |
| 4 | 3/36 | 12/36 | 48/36 |
| 5 | 4 /36 | 20/3 6 | 100/36 |
| 6 | 5/36 | 30/36 | 180/36 |
| 7 | 6/36 | 42/36 | 294/36 |
| 8 | 5/36 | 40/36 | 320/36 |
| 9 | 4 /36 | 36/36 | 324/36 |
| 10 | 3/36 | 30/36 | 300/36 |
| 11 | 2/36 | 22/36 | 242/36 |
| 12 | 1/36 | 12/36 | 144/36 |
| | 7 | 54.83 |
|---|
2. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego
| x | p i | x· p i |
|---|
| +100 |  | 100/6 |
| + 200 | | 200/6 |
| + 300 | | 300/6 |
| - 400 | | -400/6 |
| + 500 | | 500/6 |
| -600 | | - 600/6 |
| | | 100/6 |
|---|
µ =16.667
3. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
| x | p i |
|---|
| 0 | 0,1 |
| 1 | 0,2 |
| 2 | 0,1 |
| 3 | 0,4 |
| 4 | 0,1 |
| 5 | 0,1 |
Soluciones:
1Calcular, representar gráficamente la función de distribución
2Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5
Distribución binomial o de Bernoulli
Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles
dos resultados: el suceso A (
éxito) y su contrario
.
2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La
probabilidad de es 1− p, y la representamos por
q.
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
Ejemplos
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
2¿Y cómo máximo 2?
Las distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:
En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?
Son experimentos donde, al igual que en la distribución binomial, en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí:
Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer ensayo saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos).
La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo:
Donde:
Vamos a tratar de explicarlo:
N: es el número total de bolas en la urna
N1: es el número total de bolas blancas
N2: es el número total de bolas negras
k: es el número de bolas blancas cuya probabilidad se está calculando
n: es el número de ensayos que se realiza
Veamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?
Entonces:
N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4
Si aplicamos el modelo:
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.
Pero este modelo no sólo se utiliza con experimentos con bolas, sino que también se aplica con experimentos similares:
Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%.
Ejemplos:
- Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)
otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
- De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total
a = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
b) N = 10 proyectiles en total
a = 3 proyectiles que no explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =
- a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?
Solución:
a) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
b) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
![\begin{align}
\mathbb{E}(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6}
+ 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\\[6pt] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5
\end{align}](https://upload.wikimedia.org/math/b/e/b/beb92ec14b1d3af45bee974e1e1386bc.png)
